Читать «Пуанкаре» онлайн - страница 88

Теория фуксовых функций, как продукт тесного переплетения и взаимопроникновения самых различных идей и методов, родилась на перекрестке ведущих математических теорий прошлого столетия: теории дифференциальных уравнений, теории инвариантов, неевклидовой геометрии, теории групп, теории эллиптических функций. Вчерашний студент, перешагнув через переходный этап, сразу же явил ученому миру зрелость вполне сложившегося таланта, с широким кругозором и необычайным многообразием своих внутренних возможностей. Не имеет даже смысла говорить о «раннем Пуанкаре», такого Пуанкаре попросту не было, не было периода первоначальных исканий и ученичества, который принято называть «порой надежд». От самого порога. Горной школы он вышел на уровень лучших математиков своего времени.

Фуксовы функции составили первую главу в научном наследии знаменитого ученого. «Именно этой первой главе и суждено было несколько десятилетий спустя первой достичь того состояния, когда о математической теории начинают говорить, что она уже „стала классической“, — пишет Г. Фрейденталь. Эллиптические функции, считавшиеся до этого одним из прекраснейших достижений математики XIX века, оказались теперь частным случаем фуксовых функций, созданных в результате грандиозного обобщения, предпринятого Пуанкаре. Открытие этих функций позволило решить одну из важнейших проблем математического естествознания — интегрирование линейных дифференциальных уравнений с алгебраическими коэффициентами. С этой целью Пуанкаре и начал свои исследования. Однако значение фуксовых, ныне автоморфных, функций выходит далеко за рамки этого приложения.

Почти сразу же выяснилось, что применение их в теории алгебраических форм сулит многообещающие возможности. К этой мысли пришел сам Пуанкаре. Вот как он рассказывает об этом: „Я занимался изучением некоторых вопросов арифметики без особого успеха, не подозревая, что предмет моих исследований может иметь какую-то связь с моими прежними работами (по теории фуксовых функций). Разочарованный своими неудачами, я решил провести несколько дней на побережье и поразмыслить о совсем других вещах. Однажды, когда я прогуливался по обрывистому берегу, мне пришла в голову идея, столь же краткая, сколь неожиданная и вполне определенная, что арифметические преобразования неопределенных тернарных квадратических форм должны быть тождественны преобразованиям неевклидовой геометрии. Вернувшись в Кан, я тщательно обдумал эту идею и попытался вывести из нее некоторые следствия“.

Пуанкаре настолько глубоко проникся своими исследованиями, что кажется, будто не он в мучительном напряжении ищет решения стоящих перед ним проблем, а они охотятся за ним и преследуют его, являясь ему в самых неожиданных местах и обстоятельствах. Эту характерную особенность его творчества сумел уловить даже ректор Канского университета, отметивший как-то в одном из конфиденциальных разговоров: „Господин Пуанкаре — это математик великих достоинств, неотступно осаждаемый объектом своих исследований“. Внезапно озарившая Пуанкаре идея позволила ему с помощью аппарата фуксовых групп добиться значительных результатов в изучении тернарных форм. Впоследствии стали даже говорить, что фуксовы функции вручили Пуанкаре „ключи от алгебраического мира“.