Читать «Пуанкаре» онлайн - страница 150

Президент, высокий, плотный и несколько сутуловатый, расхаживал среди гостей, то и дело потирая свои руки, словно был чем-то весьма доволен. (Кто-то рядом с Пуанкаре заметил вполголоса, что господин Фор "умывает руки после своего очередного политического хода".) Сопровождали его пять-шесть офицеров разных чинов. "Почетная свита или мера предосторожности?" — гадал Пуанкаре. Немногим больше года прошло с тех пор, как президент Сади Карно пал от руки анархиста. А еще за полгода до этого произошел взрыв бомбы в зале заседаний Палаты депутатов. Вспышка анархо-террористической деятельности охватила страну. Взрывы бомб гремели в кафе, в церквах, в полицейских участках. Политический горизонт был весьма неспокойным, и это очень волновало Эрмита. Старый математик пребывал в тревожном, возбужденном состоянии. Пуанкаре так и не решился обсуждать с ним свои топологические идеи. Ему хорошо была известна та неприязнь, которую Эрмит испытывал к геометрическим исследованиям, поэтому на одобрение его он не рассчитывал.

Следующую свою работу по топологии Пуанкаре опубликовал лишь в 1899 году. Это было первое из тех пяти дополнений к основному мемуару "Analysis situs", которые вышли в свет до 1904 года. В них автор встал уже на комбинаторную точку зрения, введя широко известный ныне в топологии метод симплициального разбиения или триангуляции. Идея его заключается в том, что на поверхности изучаемой фигуры наносится сетка с треугольными ячейками. Это позволяет успешно применять для ее топологического исследования эффективные средства, разработанные большей частью самим Пуанкаре.

Еще Л. Эйлером была высказана замечательная теорема о многогранниках: если к числу вершин любого многогранника прибавить число его граней и вычесть из этой суммы число ребер, то в итоге всегда будет получаться цифра два. Метод триангуляции позволяет обобщить теорему Эйлера на любую фигуру, даже на округлую, ведь нарисованные на ее поверхности треугольные ячейки можно считать гранями воображаемого многогранника. Расчеты по формуле Эйлера снова дадут цифру. Каждой внешней форме тела можно сопоставить, таким образом, число, топологический инвариант, значение которого определяется только видом поверхности. Для сферы и тора, например, эти числа различны. Пуанкаре обобщил теорему Эйлера на многомерные фигуры, то есть доказал формулу, связывающую число вершин, ребер и граней непредставимого воображением многогранника в многомерном пространстве. И в многомерной геометрии появился числовой топологический инвариант, предельно простой по смыслу и удобный в употреблении.

Современного читателя топологических работ Пуанкаре поражают удивительная завершенность, законченность, довольно-таки неожиданная для периода младенчества этой науки. Причем законченность не в смысле доскональности и совершенства математических доказательств, а в смысле точности и полноты введенных им понятий и методов. Изложенные в этих статьях идеи в течение всех последующих десятилетий питали топологию своей Живительной силой. Следуя за новаторской мыслью Пуанкаре, многочисленные исследователи развили в математике новое мощное и обширное направление, напоминающее ныне густо ветвящееся дерево. "Величайший представитель классической математики "взорвал изнутри" ее традиции и открыл доступ в нее не только новым методам исследования, но, что, может быть, еще важнее, и новым способам видеть вещи и интересоваться ими", — пишет академик П. С. Александров. Однако в конце XIX века и несколько позже рядом с ослепительным храмом небесной механики новоотстроенное здание никому не известной еще математической дисциплины выглядит совсем не впечатляюще. По сравнению с другими успехами Пуанкаре "Analysis situs" кажется его современникам несравненно более скромным достижением. Даже Эмиль Пикар, хорошо осведомленный о глубинных течениях творческой мысли своего друга, в обзорном докладе 1913 года о его математических работах ни словом не упоминает эти статьи. И только позже, с дистанции прошедших десятилетий, ученые смогли по достоинству оценить всю грандиозность топологических построений Пуанкаре.