Читать «Как предсказать курс доллара. Эффективные методы прогнозирования с использованием Excel и EViews» онлайн - страница 41

В основе теории единичного корня лежит довольно простая формула, которая считается базовой для понимания стационарности в уравнениях авторегрессии:

Y_t = ρY_t-1 + e_t, (4.4)

где Y_t — результативная зависимая переменная;

Y_t-1 — независимая факторная переменная с лагом в один период (в нашем случае в один месяц);

ρ — коэффициент регрессии;

е_t — остатки.

Уравнение авторегрессии 1-го порядка считается стационарным в том случае, когда коэффициент регрессии ρ < 1. Соответственно если ρ > 1, то оно считается нестационарным, а следовательно, волатильность с течением времени может нарастать и стремиться к бесконечности. Следует заметить, что при необходимости в формулу (4.4) может быть добавлена константа либо константа и тренд, если, конечно, они будут статистически значимыми.

Проверка авторегрессионного процесса на стационарность проводится следующим образом. Согласно нулевой гипотезе, предполагается, что если ρ = 1, то временной ряд нестационарный, а в случае ее опровержения принимается альтернативная гипотеза, утверждающая, что ρ < 1, а следовательно, ряд стационарный.

В ходе решения обычного уравнения регрессии рассчитывается t-статистика для коэффициента регрессии ρ, совпадающая с расчетными значениями статистики Дикки — Фуллера, которая потом сравнивается с критическими значениями статистики Дикки — Фуллера (обычно даются в таблице, но в EViews, естественно, мы их получим в готовом виде). Сравнение проводится по одностороннему критерию, но если бы альтернативная гипотеза состояла в утверждении, что ρ ≠ 1, то тогда мы пользовались бы двусторонним критерием. Поскольку проверка гипотезы проводится по одностороннему критерию, то в этом случае, если расчетное значение t-статистики для коэффициента регрессии ρ будет меньше критического значения статистики Дикки — Фуллера (с поправкой на число наблюдений), нулевая гипотеза о том, что ρ = 1 отклоняется и принимается альтернативная гипотеза о том, что ρ < 1, а следовательно, временной ряд Y_t можно считать стационарным.

Стандартный тест Дикки — Фуллера проводится после вычитания Y_t-1 из левой и правой частей уравнения (4.4). В результате мы получаем следующую формулу:

Y_t — Y_t-1 = ρY_t-1 — Y_t-1 + e_t (4.5)

Учитывая, что dY₁ = Y_t- Y_t-l, а ρY_t-1 — Y_t-1 = (ρ -1)Y_t-1, и приравняв α = (ρ-1), получим новое уравнение:

dY₁ = αY_t-1 + e_t (4.6)

С учетом того, что при r = 1 параметр а становится равным нулю, то соответственно в случае принятия нулевой гипотезы α = 0, а если принимается альтернативная гипотеза, то соответственно |α| < 1, а следовательно, временной ряд считается стационарным.