Читать «Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков» онлайн - страница 20

В своих комментариях к «Девятикнижию» Лю Хуэй указывает, что традиционное правило «π = 3» ошибочно: вместо длины окружности оно дает периметр вписанного шестиугольника, который очевидно меньше. Затем он вычисляет более точное значение для длины окружности (и косвенно для π). Мало того, он пошел еще дальше и описал вычислительный метод оценки числа π со сколь угодно высокой точностью. Его подход напоминал подход Архимеда: аппроксимировать окружность правильными многоугольниками с 6, 12, 24, 48, 96, … сторонами. Чтобы применить метод исчерпания, Архимед использовал одну последовательность аппроксимирующих многоугольников внутри, вписывая их в окружность, а вторую – снаружи, описывая их около окружности. Ли Хуэй пользовался только вписанными многоугольниками, но в завершение расчета он привел геометрические аргументы в пользу того, чтобы определить как нижнюю, так и верхнюю границы истинного значения π. Этот метод позволяет получить сколь угодно точное приближение к π, не используя ничего сложнее квадратных корней. Для вычисления квадратных корней существует формализованный метод, трудоемкий, но не более сложный, чем умножение в столбик. Умелый расчетчик вполне мог бы за один день получить десять десятичных знаков π.

Позже, около 469 г., Цзу Чунчжи расширил этот расчет и показал, что

3,1415926 < π < 3,1415927.

Результат был записан и сохранился, а вот метод, изложенный, возможно, в его потерянной работе «Чжуй шу» – «Метод интерполяции», до нас не дошел. Вероятно, это было сделано путем продолжения расчетов Лю Хуэя, но заголовок трактата позволяет предположить, что речь шла, скорее, о получении более точного результата из пары приближений, одно из которых слишком мало, а другое – слишком велико. Подобные методы можно найти в математике и сегодня. Не так давно им учили в школах, чтобы использовать таблицы логарифмов. Цзу предложил две простые дроби, приближенно выражающие: это Архимедова дробь 22/7, равная π с точностью до двух знаков после запятой, и 355/113, равная π с точностью до десяти знаков. Первое значение и сегодня широко используется, второе тоже хорошо известно математикам.

* * *

Одна из реконструкций доказательства теоремы Пифагора, принадлежащего Лю Хуэю и восстановленного на базе текстовых указаний в его книге, представляет собой хитроумное и необычное рассечение. Собственно прямоугольный треугольник, о котором идет речь, показан на рисунке черным. Квадрат, построенный на одном из его катетов (светло-серый), рассечен надвое диагональю. Квадрат, построенный на другом катете, разрезан на пять частей: один маленький квадратик (темно-серый), пара симметрично расположенных треугольников (средне-серых) тех же формы и размера, что и первоначальный прямоугольный треугольник, и пара симметрично расположенных треугольников (белых), заполняющих оставшееся место. После этого все семь кусочков собираются воедино и образуют квадрат на гипотенузе.