Читать «Teopeма Гёделя» онлайн - страница 2

Аксиоматическое построение геометрии произвело глубокое впечатление на мыслителей всех времен — ведь совсем небольшого числа аксиом оказалось достаточным, чтобы из них можно было вывести поистине необозримое количество предложений. Более того, если каким-либо образом можно было удостовериться в истинности аксиом, а фактически на протяжении почти двух тысячелетий большинство ученых считало истинность аксиом само собой разумеющейся, то это уже автоматически обеспечивало истинность всех теорем и их совместимость. Поэтому аксиоматическое изложение геометрии в глазах многих поколений ученых представлялось своего рода идеальным образцом научного знания. И вполне естественно было задать вопрос, можно ли другие научные дисциплины, кроме геометрии, построить на такой же строгой аксиоматической основе. Тем не менее, хотя некоторые разделы физики формулировались аксиоматически еще в античные времена (например, Архимедом), до недавнего времени геометрия в глазах большинства ученых представлялась, по сути дела, единственной областью математики, построенной на аксиоматической базе.

Однако в течение последних двух столетий аксиоматический метод стал применяться все более широко и интенсивно. И для новых областей математики, и для более традиционных ее разделов, таких, например, как общая арифметика целых чисел, были сформулированы системы аксиом, представляющие эти математические дисциплины в некотором смысле адекватным образом. В результате укоренилось довольно прочное убеждение, что для любой математической дисциплины можно указать перечень аксиом, достаточный для систематического построения всего множества истинных предложений данной науки.

Работа Гёделя показала полную несостоятельность такого убеждения. Она представила математикам поразительный и обескураживающий вывод, согласно которому возможности аксиоматического метода определенным образом ограничены, причем ограничения таковы, что даже обычная арифметика целых чисел не может быть, оказывается, полностью аксиоматизирована. Более того, Гёдель доказал, что для весьма широкого класса дедуктивных теорий (включающего, в частности, элементарную арифметику) нельзя доказать их непротиворечивость, если не воспользоваться в доказательстве столь сильными методами, что их собственная непротиворечивость оказывается в еще большей степени подверженной сомнениям, нежели непротиворечивость самой рассматриваемой теории. В свете сказанного ни о какой окончательной систематизации многих важнейших разделов математики не может быть и речи, и нельзя дать решительно никаких надежных гарантий того, что многие важные области математики полностью свободны от внутренних противоречий.

Таким образом, открытия Гёделя подорвали глубоко укоренившиеся представления и разрушили старые надежды, ожившие было в ходе более новых исследований по основаниям математики. Но работа Гёделя имеет не только отрицательное значение. Она обогатила исследования по основаниям математики совершенно новыми методами рассуждения, сравнимыми по своей природе и по своей плодотворности с алгебраическим методом, привлеченным для решения геометрических задач Рене Декартом. Открытия Гёделя существенно расширили проблематику логических и математических исследований. Кроме всего прочего, работа Гёделя обусловила существенную переоценку перспектив философии математики и философии науки в целом.