Читать «Стратегические игры» онлайн - страница 586

На дано геометрическое представление цели максимизации. Черные линии, обозначенные как c₁, c₂ и c₃ — это изолинии, или линии уровня максимизируемой функции; на каждой такой кривой значение (x — a)^h(y — b)^k представляет собой постоянную величину и составляет c₁, c₂ и c₃ (где c₁ < c₂ < c₃), как показано выше. Все пространство можно заполнить такими линиями, у каждой из которых свое значение постоянной, а у линий, расположенных в направлении «северо-востока», значения постоянных выше.

Очевидно, что самое высокое из возможных значение данной функции находится в точке касания Q линии эффективной границы и одной из изолиний. Местоположение точки Q определяется тем свойством, что линия уровня, проходящая через Q, — касательная к линии эффективной границы. Точка касания — это общепринятый способ представления кооперативного решения Нэша в геометрическом виде.

В примере на также можно вывести решение Нэша математически; для этого понадобится дифференциальное исчисление, но цели важнее способов их достижения (во всяком случае, в контексте изучения стратегических игр). Для того чтобы найти это решение, целесообразно записать X = x — a и Y = y — b. Таким образом, X — это величина излишка, получаемого игроком А, а Y — величина излишка игрока Б. Условие эффективности исхода гарантирует, что X + Y = x + y — a — b = v — a — b, что и представлет собой общую величину излишка, которую мы обозначим символом S. Тогда Y = S — X, а также

(x — a)^h(y — b)^k = X^hY^k = X^h(S — X)^k.

В решении Нэша X принимает значение, максимизирующее эту функцию. Элементарное исчисление говорит о том, что для определения значения X необходимо взять производную этого выражения по X и приравнять к нулю. Воспользовавшись правилами исчисления для поиска производных степеней X и произведения двух функций X, получим

hX^{h — 1}(S — X)^k — X^hk(S — X)^{k — 1} = 0.

Исключив общий множитель X^{h — 1}(S — X)^k — 1, будем иметь

h(S — X) — kX = 0,

hY — kX = 0,

kX = hY

И наконец, выразив это уравнение через исходные переменные x и y, получим (x — a)/h = (y — b)/k, а это и есть формула Нэша. Вывод: три условия Нэша приводят к формуле, которую мы изначально обозначили как простой способ разделения излишка в процессе переговоров.

Эти три принципа, или заданные свойства, определяющие решение Нэша для кооперативных переговоров, — просты и даже привлекательны. Но при отсутствии эффективного способа убедиться, что стороны переговоров предпримут действия, предусмотренные в соглашении, они могут оказаться бесполезны. Игрок, которому выгоднее самостоятельно разрабатывать стратегию, чем использовать решение Нэша, может их просто проигнорировать. Если третейский судья может принудить выполнить решение, то игрок может отказаться от его услуг. Следовательно, кооперативное решение Нэша будет более убедительным при наличии альтернативной интерпретации в виде равновесия Нэша в некооперативной игре с двумя участниками переговоров. Это действительно осуществимо, и мы рассмотрим такой пример в .