Читать «Стратегические игры» онлайн - страница 585

На рис. 17.2 все точки над и под (то есть к «югу» и к «западу») кривой y = f(x), представленной в виде жирной серой линии, образуют полное множество возможных исходов. Сама кривая состоит из эффективных исходов: не существует возможных исходов, которые включали бы больше значений x и y, чем исходы на кривой y = f(x), а значит, неиспользованной взаимной выгоды нет. В связи с этим мы называем кривую y = f(x) эффективной границей в переговорной задаче.

Рис. 17.2. Общий вид решения Нэша для переговорной игры

Мы можем проиллюстрировать изогнутую эффективную границу на примере рационального распределения риска из . Два фермера, функция полезности каждого из которых выражена в виде квадратного корня, сталкиваются с риском того, что в равной степени вероятные благоприятные или неблагоприятные условия обеспечат им либо 160 000, либо 40 000 долларов дохода, что даст каждому из них ожидаемую полезность в размере

Однако между рисками этих двух фермеров присутствует идеальная отрицательная корреляция. У одного складываются хорошие погодные условия, тогда как у другого плохие, а значит, их совокупный доход составит 200 000 долларов независимо от того, какому фермеру с погодой повезет. Если фермеры договорятся, что первый из них получит долю совокупного дохода z, а второй — оставшийся доход (200 000 — z), то их значения полезности x и y соответственно составят

Стало быть, мы можем описать множество возможных исходов разделения риска с помощью уравнения

x² + y² = z + (200 000 — z) = 200 000.

Это уравнение описывает четверть окружности в положительном квадранте и отображает эффективную границу переговорной задачи двух фермеров. Показатель BATNA каждого фермера — это ожидаемая полезность 300, которую он будет иметь, если фермеры не достигнут соглашения по разделению риска. Подставив данное значение в уравнение, получаем 300² + 300² = 90 000 + 90 000 = 180 000 < 200 000. Следовательно, точка, соответствующая значению BATNA, находится с внутренней стороны четверти окружности эффективной границы.

Третий принцип также весьма интересен. Если исход, который участник переговоров в любом случае бы не выбрал, исключается из рассмотрения, тогда какое он имеет значение? Это предположение тесно связано с условием независимости от посторонних альтернатив в теореме о невозможности Эрроу, о которой шла речь в , но нам придется оставить эту связь для более сложных работ по данной теме.

Нэш доказал, что кооперативный исход, удовлетворяющий всем трем предположениям, можно описать в виде математической задачи максимизации: выберите такие значения x и y, которые обеспечат максимум функции (x — a)^h(y — b)^k при условии y = f(x).

Здесь x и y — исходы, a и b — страховочные выигрыши, а h и k — два возможных числа, составляющих в сумме 1, которые аналогичны силе переговорных позиций в формуле Нэша. Значения h и k не могут быть определены только посредством трех исходных предположений Нэша; следовательно, они оставляют некоторую степень свободы в теории и в результатах. В действительности Нэш ввел в эту задачу четвертое предположение — о симметрии между двумя игроками. Оно привело к результату h = k = 1/2 и позволило найти единственное решение. Мы дали более общую формулировку, впоследствии получившую широкое распространение в теории игр и экономике.