Читать «Стратегические игры» онлайн - страница 576

a) Допустим, вы делаете ставку против всего одного соперника, оценка которого равномерно распределена в интервале [0,1] и который всегда предлагает цену, равную половине этой стоимости. Чему равна вероятность того, что вы выиграете аукцион, если предложите цену b = 0,1, b = 0,4, b = 0,6?

b) Сложите вместе ответы, полученные в пункте а. Выразите вероятность того, что вы выиграете аукцион, как функцию вашей цены предложения b.

c) Найдите выражение для ожидаемой прибыли, если ваша оценка составляет v, а цена предложения b при условии, что ваш соперник всегда предлагает цену, равную половине своей оценки. Не забывайте о существовании всего двух вариантов развития событий: вы либо победите, либо проиграете аукцион. Ваша задача — найти среднее значение прибыли с учетом этих двух сценариев.

d) Какое значение b максимизирует вашу ожидаемую прибыль? Оно должно быть функцией от вашего значения v.

e) На основании полученных результатов обоснуйте вывод о том, что равновесие Нэша может быть достигнуто в случае, если действия обоих участников торгов будут соответствовать функции b(v) = v/2.

S5 (дополнительное упражнение). Проанализируйте равновесные стратегии предложения цены на аукционах «платят все», в которых выставленный на продажу товар имеет личную ценность для каждого покупателя, в отличие от ситуации в , где на аукцион «платят все» выставлен товар с известной всем стоимостью. В случае аукциона «платят все» с личной ценностью значения стоимости распределены равномерно в интервале [0,1], а функция равновесного предложения цены выглядит так: b(v) = [(n — 1)/n]vⁿ.

a) Постройте графики функции b(v) при n = 2 и n = 3.

b) Повышается или уменьшается цена предложения в зависимости от количества участников торгов? Ваш ответ могут обусловить значения n и v. Другими словами, в одних случаях ставки повышаются в зависимости от значения n, а в других понижаются.

c) Докажите, что представленная выше функция — действительно функция равновесного предложения цены по Нэшу. Используйте тот же подход, что и в . Помните, что на аукционе «платят все» вы платите даже тогда, когда проигрываете, поэтому ваш выигрыш составляет v — b в случае победы и — b в случае поражения.

Упражнения без решений

U1. «При наличии покупателей с высоким уровнем нерасположенности к риску человек, который продает на аукционе свой дом, получит высокую ожидаемую прибыль в случае использования закрытого аукциона первой цены». Это утверждение истинно или ложно? Обоснуйте свой вывод.

U2. Предположим, три нейтральных к риску участника торгов заинтересованы в покупке игрушки «медвежонок-принцесса». Покупатели (с номерами от 1 до 3) оценивают ее стоимость в 12, 14 и 16 долларов соответственно. Аукцион по продаже игрушки организован так, как описано в пунктах a — d; в каждом случае ставки можно делать с шагом 1 доллар при любом значении стоимости игрушки от 5 до 25 долларов.