Читать «K читателям русского издания» онлайн - страница 99

Таким образом, ускорение определяется как быстрота изме­нения скорости. Всем сказанным ранее мы уже достаточно под­готовлены к тому, чтобы сразу записать ускорение в виде производной от скорости, точно так же как скорость записы­вается в виде производной от расстояния. Если теперь продиф­ференцировать формулу v=9,8 t, то получим ускорение падаю­щего тела

a=dv/dt=9,8. (8.9)

(При дифференцировании этого выражения использовался ре­зультат, полученный нами раньше. Мы видели, что производная от Bt равна просто В (постоянной). Если же выбрать эту по­стоянную равной 9,8, то сразу находим, что производная от 9,8 t равна 9,8.) Это означает, что скорость падающего тела по­стоянно возрастает на 9,8 м/сек за каждую секунду. Этот же результат можно получить и из табл. 8.4. Как видите, в случае падающего тела все получается довольно просто, но ускорение, вообще говоря, непостоянно. Оно получилось постоянным толь­ко потому, что постоянна сила, действующая на падающее тело, а по закону Ньютона ускорение должно быть пропорциональ­но силе.

В качестве следующего примера найдем ускорение в той задаче, с которой мы уже имели дело при изучении скорости:

s=At³+Bt+C.

Для скорости v–ds/dt мы получили формулу

v=3At²+B.

Так как ускорение – это производная скорости по времени, то для того, чтобы найти его значение, нужно продифференци­ровать эту формулу. Вспомним теперь одно из правил табл. 8.3, а именно что производная суммы равна сумме производных. Чтобы продифференцировать первый из этих членов, мы не будем проделывать всю длинную процедуру, которую делали раньше, а просто напомним, что такой квадратичный член встречался нам при дифференцировании функции 5t², причем в результате коэффициент удваивался, a t² превращалось в t. Вы можете сами убедиться в том, что то же самое произойдет и сейчас. Таким образом, производная от ЗAt² будет равна 6Аt. Перейдем теперь к дифференцированию второго слагаемого. По одному из правил табл. 8.3 производная от постоянной бу­дет нулем, следовательно, этот член не даст в ускорение ника­кого вклада. Окончательный результат: a=dv/dt=6At.

Выведем еще две полезные формулы, которые получаются интегрированием. Если тело из состояния покоя движется с постоянным ускорением g, то его скорость v в любой момент времени t будет равна

v=gt,

а расстояние, пройденное им к этому моменту времени,

s=¹/₂gt².

Заметим еще, что поскольку скорость – это ds/dt, а ускоре­ние – производная скорости по времени, то можно написать

Так что теперь мы знаем, как записывается вторая произ­водная.

Существует, конечно, и обратная связь между ускорением и расстоянием, которая просто следует из того, что a=dv/dt. Поскольку расстояние является интегралом от скорости, то оно может быть найдено двойным интегрированием ускорения.

Все предыдущее рассмотрение было посвящено движению в одном измерении, а теперь мы коротко остановимся на движе­нии в пространстве трех измерений. Рассмотрим движение частицы Р в трехмерном пространстве. Эта глава началась с об­суждения одномерного движения легковой машины, а именно с вопроса, на каком расстоянии от начала движения находится машина в различные моменты времени. Затем мы обсуждали связь между скоростью и изменением расстояния со временем и связь между ускорением и изменением скорости. Давайте в той же последовательности разберем движение в трех измерениях. Проще, однако, начать с более наглядного двумерного случая, а уж потом обобщить его на случай трех измерений. Нарисуем две пересекающиеся под прямым углом линии (оси координат) и будем задавать положение частицы в любой момент времени расстояниями от нее до каждой из осей. Таким образом, положе­ние частицы задается двумя числами (координатами) х и у, каж­дое из которых является соответственно расстоянием до оси у и до оси х (фиг. 8.3). Теперь мы можем описать движение, составляя, например, таблицу, в которой эти две коорди­наты заданы как функции времени. (Обобщение на трех­мерный случай требует введения еще одной оси, перпендикулярной двум первым, и измерения еще одной координаты г. Однако теперь расстояния берутся не до осей, а до координат­ных плоскостей.) Как определить скорость частицы? Для этого мы сначала найдем составляющие скорости по каждому направ­лению, или ее компоненты. Горизонтальная составляющая ско­рости, или x-компонента, будет равна производной по времени от координаты х, т. е.