Читать «K читателям русского издания» онлайн - страница 95
ves
,
причем точность будет тем больше, чем меньше . Математики записывают это следующим образом:
(8.3)
т. е. скорость есть предел отношения при , стремящемся к нулю. Для нашей машины-нарушительницы невозможно точно вычислить скорость, так как таблица неполная. Ее положение известно нам только через интервалы 1 мин. Приближенно, конечно, можно сказать, что в течение седьмой минуты, например, она шла со средней скоростью 90 км/час, однако о ее скорости в конце шестой минуты ничего сказать невозможно. Может быть, она ускорялась и скорость с 40 км/час в начале шестой минуты возросла до 90 км/час в конце ее, а может быть, она двигалась иначе. Мы не знаем этого точно, так как у нас нет детальной записи ее движения между шестой и седьмой минутами. Только когда таблица будет пополнена бесконечным числом данных, из нее можно будет действительно вычислить скорость. Если, однако, нам известна полная математическая формула, как, например, в случае падающего тела [уравнение (8.1)], то можно подсчитать скорость. Ведь по формуле можно найти положение тела в любой момент времени.
В качестве примера давайте найдем скорость падающего шара через 5 сек после начала падения. Один способ – это посмотреть по табл. 8.2, что происходило с шариком на пятой секунде. В течение этой секунды он прошел 45 м, так что, казалось бы, он падал со скоростью 45 м/сек. Однако это неверно, поскольку скорость его все время изменялась. Конечно, в среднем в течение этой секунды она составляла 45 м/сек, но в действительности шар ускорялся и в конце пятой секунды падал быстрее 45 м/сек. Наша задача состоит в том, чтобы определить скорость точно. Сделаем это следующим образом. Нам известно, где шарик находился через 5 сек. За 5 сек он прошел расстояние 125 м. К моменту 5,1 сек общее расстояние, которое прошел шарик, составит, согласно уравнению (8.1), 130,05 м. Таким образом, за дополнительную десятую долю секунды он проходит 5,05 м. А поскольку 5,05м за 0,1 сек то же самое, что и 50,5 м/сек, то это и будет его скорость. Однако это все еще не совсем точно. Для нас совершенно неважно, будет ли это скорость в момент 5 сек, или в момент 5,1 сек, или где-то посредине. Наша задача вычислить скорость точно через 5 сек, а этого мы пока не сделали. Придется улучшить точность и взять теперь на тысячную долю больше 5 сек, т. е. момент 5,001 сек, Полное расстояние, пройденное за это время, составляет
м.
Следовательно, в последнюю тысячную долю секунды шарик проходит 0,050005 м, и если разделить это число на 0,001 сек, то получим скорость 50,005 м/сек. Это уже очень близко, но все же еще не точно. Однако теперь уже ясно, как поступить, чтобы найти скорость точно. Удобнее решать эту задачу в несколько более общем виде. Пусть требуется найти скорость в некоторый момент времени (например, 5 сек). Расстояние, которое пройдено к моменту (назовем его ), будет (в нашем случае 125 м). Чтобы определить расстояние, мы задавали вопрос: где окажется тело спустя время t0+ (небольшой добавок), или ? Новое положение тела будет . (Это расстояние больше того расстояния, которое шарик прошел за сек, т. в. больше ). Назовем это расстояние (небольшой добавок), или . Если теперь вычесть из него расстояние, пройденное к моменту , то получим х – то дополнительное расстояние, которое шарик прошел за добавочное время , т. е. . Так что в первом приближении скорость будет равна
