Читать «K читателям русского издания» онлайн - страница 94

Но теперь мы, кажется, находимся на правильном пути, ко­торый приводит нас вот к чему. Если бы машина продолжала двигаться таким же образом следующую тысячную долю часа, то она прошла бы тысячную долю 90 км. Другими словами, нет никакой необходимости ехать целый час с той же быстротой, достаточно какого-то момента. Это означает, что за какой-то момент времени машина проходит такое же расстояние, как я идущая с постоянной скоростью 90 км/час. Наши рассуждении о 25 м/сек, возможно, и правильные; мы отмечаем, сколько ма­шина прошла в следующую секунду, и если получается расстоя­ние 25 м, то это означает, что скорость достигает 90 км/час.

Другими словами, можно определить скорость следующим об­разом. Определяем расстояние, которое было пройдено за очень малый отрезок времени, и, разделив его на этот отрезок времени, получаем скорость. Однако этот отрезок должен быть как мож­но меньше, и чем меньше, тем лучше, потому что в этот период могут произойти снова изменения. Смешно, например, для па­дающего тела в качестве такого отрезка принять час. Принять в качестве отрезка секунду, может быть, удобно для автомобиля, так как за секунду его скорость изменяется не слишком силь­но, но этот отрезок велик для падающего тела. Таким образом, чтобы вычислить скорость более точно, нужно брать все меньшие и меньшие интервалы времени. Если на миллионную долю се­кунды мы разделим расстояние, которое было пройдено в течение этого времени, то получим расстояние в секунду, т.е. как раз то, что мы понимаем под скоростью. Именно это нужно было сказать нашей нарушительнице, т. е. дать то определение; скорости, которое мы и будем использовать.

Такое определение содержит некую новую идею, которая была недоступна грекам в ее общей форме.

Она заключается в том, чтобы малые расстояния разделить на соответствующие малые отрезки времени и посмотреть, что произойдет с частным, если отрезок времени брать все меньше и меньше (иными словами, брать предел отношения пройденно­го расстояния к интервалу времени при неограниченном уменьшении последнего). Впервые эта идея была высказана незави­симо Ньютоном и Лейбницем и явилась основой новой области математики – дифференциального исчисления. Оно возникло в связи с описанием движения, и первым его приложением был ответ на вопрос: «Что означает 90 км/час?»

Попытаемся теперь точнее определить скорость. Пусть за некоторое малое время машина или какое-то другое тело про­шли малое расстояние х; тогда скорость v определяется как