Читать «K читателям русского издания» онлайн - страница 106

§ 5. Численнов решение уравнений

Давайте теперь действительно решим нашу задачу. Допус­тим, что мы взяли =0,100 сек. (Если после того, как мы про­делаем все вычисления, окажется, что этот интервал не достаточ­но мал, то необходимо повторить все сначала с меньшим интервалом времени, например 0,010 сек.) Чему будет равно х(0,1), если в начальный момент времени х (0) = 1? Оно равно старому положению х(0) плюс скорость в начальный момент (которая равна нулю), умноженная на 0,10 сек. Таким образом, х(0,1) равно 1,00, ибо грузик еще не начал двигаться. Но новая скорость в момент 0,10 сек будет равна старой скорости v (0)=0 плюс , умноженное на ускорение. А само ускорение равно -х(0)=-1,00. Так что

v(0,1)=0,00+0,10•1,00=-0,10. В момент 0,20 сек

х(0,2)=х(0,1)+v(0,1)=1,00-0,10•0,10=0,99

и

v(0,2)=v(0,1)+ a(0,1) =-0,10-0,10•1,00 =-0,20.

Продолжая эту процедуру еще и еще, можно найти положение и скорость в любой момент времени, а это как раз то, что нам нужно. Однако практически мы используем нехитрый прием, который позволит увеличить точность вычислений. Если бы мы продолжали начатые нами расчеты, то они оказались бы до­вольно грубыми, поскольку интервал =0,10 сек довольно большой. Пришлось бы уменьшить его, скажем, до 0,01 сек. Но тогда, чтобы проследить движение за какой-то разумный отрезок времени, потребовалось бы сделать множество шагов. Мы же организуем процесс таким образом, что сможем увели­чить точность, используя тот же интервал =0,10 сек. Этого можно достичь, несколько изменив метод расчета.

Заметьте, что новое положение тела равно старому плюс интервал времени , умноженный на скорость. Но что это за скорость? В какой момент? В начале интервала одна скорость, а в конце она совсем другая. Прием состоит в том, чтобы брать скорость в середине интервала. Если известна скорость в на­стоящий момент и известно, что она меняется, как же можно надеяться получить удовлетворительный результат, считая, что тело все время движется с той же скоростью, что и в на­стоящий момент? Более разумно использовать какую-то сред­нюю скорость между началом и концом интервала. Те же рассуждения применимы к изменению самой скорости: для под­счета ее изменений нужно использовать ускорение в средней точке между двумя моментами времени, в которых необходимо найти скорость. Таким образом, реально мы будем пользовать­ся следующими уравнениями: положение в конце интервала равно положению в начале плюс интервал , умноженный на скорость в середине интервала. Эта скорость в свою очередь равна скорости в середине предыдущего интервала (т. е. на отрезок меньше) плюс ускорение в начале интервала, умно­женное на .

Таким образом, мы будем пользоваться уравнениями

Остается еще один небольшой вопрос: что такое v (/2)? Вна­чале у нас было v (0), а не v (-/2). Но теперь, чтобы начать наши вычисления, необходимо использовать дополнительное уравнение v(/2)=v (0)+( /2)а(0).