Читать «K читателям русского издания» онлайн - страница 100

v_x=dx/dt (8.11)

а вертикальная составляющая, или y-компонента, равна

v_y=dy/dt (8.12)

В случае трех измерений необходимо еще добавить

v_z=dz/dt. (8.13)

Как, зная компоненты скорости, определить полную ско­рость в направлении движения? Рассмотрим в двумерном случае два последовательных положения частицы, разделенных корот­ким интервалом времени t = t₂-t₁ и расстоянием s. Из фиг. 8.3 видно, что

(Значок соответствует выражению «приблизительно равно».)

Фиг. 8.3. Описание движения тела на плоскости и вычисление его скорости.

Средняя скорость в течение интервала t получается простым делением: s/t. Чтобы найти точную скорость в момент t, нужно, как это уже делалось в начале главы, устремить t к нулю. В результате оказывается, что

В трехмерном случае точно таким же способом можно полу­чить

Ускорения мы определяем таким же образом, как и скорости: x-компонента ускорения а_х определяется как производная от x-компоненты скорости v_x (т. е. a_x=d²x/dt² – вторая производ­ная по времени) и т. д.

Давайте рассмотрим еще один интересный пример смешан­ного движения на плоскости. Пусть шарик движется в горизон­тальном направлении с постоянной скоростью u и в то же время падает вертикально вниз с постоянным ускорением g. Что это за движение? Так как v_x=dxldt=u и, следовательно, скорость v_x постоянна, то

x=ut, (8.17)

а поскольку ускорение движения вниз постоянно и равно -g, то координата у падающего шара дается формулой

y= -¹/₂gt². (8.18)

Какую же кривую описывает наш шарик, т. е. какая связь между координатами x и y? Из уравнения (8.18), согласно (8.17), можно исключить время, поскольку t=x/u, после чего находим

y=-(g/2u²)x² (8.19)